最近掌握了一种叫做 bilateral grid的数据结构，关于它的资料在网上比较少而且都写得不够深入，我尝试来写一下^-^

要理解bilateral grid，必须要读的文章是：Real-time Edge-Aware Image Processing with the Bilateral Grid, ACM TOG, 2007

bilateral grid的提出本身是为了加速诸如双边滤波(bilateral filter)、边缘感知绘画(edge-aware inpainting)和局部直方图均衡(local histogram equalization)等算法，让这些算法能够在GPU上进行并行计算。

在开始介绍bilateral grid之前，需要一点点对双边滤波的了解作为前置知识。

双边滤波

双边滤波的主要应用场景是图像平滑化，对比普通的高斯平滑核(gaussian filter)，双边滤波能更好地保持图像的结构边缘信息。

对于一张大小为(h, w)的灰度图，用$I(p)$表示取出其中点$p$的强度值。

局部滤波器的工作原理是：对于每一中心点$p$，对其邻域窗口${\mathcal{N}}_p$内的点集 { q ∣ q ∈ N p } \{q| q\in \mathcal{N}_p\} {q∣q∈Np​}做加权平均，得到点$p$对应的滤波器输出。

高斯平滑核：对于权值的设计，仅考虑点$p$和点$q$之间的位置关系，即定下$\sigma$和窗口大小后，对于每一个邻域窗口${\mathcal{N}}_p$，卷积核都是固定的。
$$G(p)=\frac{1}{W_p}{\Sigma }_q{g}_{\sigma }(\Vert q-p\Vert )I(q)，其中g_{\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x_2^2}{2{\sigma }^2}}$$
$$具体来说，g_{\sigma }(\Vert q-p\Vert )=g_{\sigma }(x_q-x_p)\cdot g_{\sigma }(y_q-y_p)=\frac{1}{{\sigma }^{2}2\pi }{e}^{-\frac{(x_q-x_p{)}^2+(y_q-y_p{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
双边滤波：在权值的设计上，除了考虑点$p$和点$q$之间的位置关系外，还考虑点$p$和点$q$之间的值的大小关系。这一点也很通俗易懂：如果两点之间的值差异较大，也意味着两点的相关性比较小，那么在平滑操作上，点$q$的信息对于平滑点$p$的作用不大，对应权值就应该要小一些。
$$B(p)=\frac{1}{k_p}{\Sigma }_q{g}_{{\sigma }_p}(\Vert q-p\Vert )\cdot g_{{\sigma }_i}(\Vert I(q)-I(p)\Vert )\cdot I(q)$$
双边滤波的设计是edge-aware的，但是有一个非常致命的缺点：它的卷积核是spatial varying的，也就是说，对于每一个邻域窗口${\mathcal{N}}_p$，都要重新计算卷积核。这样一来，计算复杂度和耗时都大大增加！

那么，该如何既利用得到双边滤波的优秀性能，又能兼顾效率呢？bilateral grid就能实现这一点。

双边网格(bilateral grid)

对于一张大小为(h, w)的灰度图[每个像素点取值范围为0-255]，每一个点其实包含3个维度的信息：x坐标，y坐标和像素值。双边网络的思想就是做维度的扩充，使用一个三维（下采样）的tensor来包含全图的信息。

先贴一张论文中的图，下图即为利用双边网格加速双边滤波实现的流程：

论文中举了个1D image的例子，并不是我们生活中常见的灰度图/彩图，我将以更常见的灰度图来主要例子来讲解。

bilateral grid的大小

先给出一些定义：
$s_s$：在空间维度下采样的倍数，用于控制smoothing的程度。
$s_r$：在值强度维度下采样的倍数，用于控制对边缘信息的保留程度。

那么，这两个超参数就决定了bilateral grid的大小为：$(h/s_s,w/s_s,256/s_r)$

bilateral grid的创建

• 初始化：首先，初始化每个grid node $(i,j,k)$值为$\Gamma (i,j,k)=(0,0)$。grid node中存储的是二元组，第一个元素存储被映射到这个grid node上的点的值强度之和，第二个元素存储被映射到这个grid node上的点的数量。
• 值填充：遍历图上每个点$p$，执行操作 $$\Gamma ([x/s_s],[y/s_s],[I(p)/s_r])+=(I(p),1)，其中[\cdot ]为\text{round operator}（四舍五入取整）$$
  这个操作的含义是：将灰度图上的每一个点都映射到bilateral grid对应的位置上去。

创建好的bilateral grid包含了整张灰度图的全部信息。

Processing

用一个3D gaussian filter$f$对bilateral grid本身做卷积操作，即等价于在灰度图上应用bilateral filter
$$\tilde{\Gamma }=f(\Gamma )，$$
$$其中f中两点m和n，值为g_{{\sigma }_s}(x_n-x_m)\cdot g_{{\sigma }_s}(y_n-y_m)\cdot g_{{\sigma }_i}(z_n-z_m)$$
这样子，就能巧妙地运用并行计算操作来实现bilateral filter了，但是得到还不够$\tilde{\Gamma }$，我们希望得到的是一个和灰度图输入等大的输出，也就是说，要做和创建bialteral grid中的值填充的逆操作类似的操作。

恢复成图像(slicing)

在文中，运用三线性插值来还原出输出图像$M$中每个点的值强度
除了处理过后的bilateral grid $\tilde{\Gamma }$外，还需要一张reference image $E$。在实际应用中，$E$可能是输入图像本身，也可能是用输入图像生成的guidance map。
$$M=s_E(\tilde{\Gamma })$$
对于三线性插值，这里就不赘述了，原理很简单：对于$E$中每一点$p$，求出其在$\tilde{\Gamma }$上的位置映射，包含其的最小的cude有8个角点，根据位置对它们做加权求和，即能获得$p$在$\tilde{\Gamma }$上的二元组值$(I_{total}(p),n_p)$。

最后，输出图像$M$中同一位置点$p$的值为$\frac{I_{total}(p)}{n_p}$。

扩展到彩图

随着时代的发展，我们生活中更常见的其实还是彩图。对于有着(R, G, B)三个通道的彩图，大家觉得其对应的bilateral grid是几维呢？

答案是5维。$维数=坐标维数(2)+值强度维数(3)$

那么显然，与处理灰度图不同的是，应用5D Gaussian filter来对bilateral grid做卷积操作。

双边网格的变体

这里就得介绍同一作者的另外一篇文章：bilateral guided upsampling, ACM TOG, 2016

施工中，未完待续……