一、理论知识

许多商业企业在运营中积累了大量的数据。例如：普通超市的收银台每天都会收集到大量的用户购物数据。下表给出一个这样的例子，通常称为购物篮事务。每一行代表一个事务，包含唯一标识id和顾客购买的商品的集合。零售商对分析这些数据会感兴趣，因为这样可以了解到用户的购物行为，可以使用这种有价值的信息来支持各种商务应用，如市场促销，库存管理等。

TID	项集
1	{黄油 ,苹果,香蕉}
2	{面包,牛奶,苹果}
3	{面包,黄油,苹果}
4	{黄油,苹果,香蕉}
5	{牛奶,香蕉}

这篇博客主要讲解关联分析的方法。用于发现隐藏在大型数据集中的有意义的联系。发现的联系可以利用关联规则或频繁项集的形式表示。例如，从上表中可以提取出如下规则：{面包}->{苹果}，这个规则表示买了面包的人同时也买了苹果，继而可以发现新的交叉销售商机。

1.1、定义

• 二元表示：
  购物篮数据可以用下表的二元形式来表示，每行表示一个事务，每一列表示一个项集。项可以用二元值表示，若项在事务中出现，则表示为1，否则为0。

	牛奶	苹果	面包	香蕉	黄油
1	0	1	0	1	1
2	1	1	1	0	0
3	0	1	1	0	1
4	0	1	0	1	1
5	1	0	0	1	0

• 项集：关联分析中，包含0个或多个项的集合被称为项集。如果一个项集中包含k个项，则称其为k项集。例如：{苹果,面包,牛奶}是一个3项集。
• 支持度计数：项集在事务中出现的次数即为支持度计数。例如：上面的二元表中，项集{面包,苹果}在5个事务中出现了2次，所以它的支持度计数就为2。

1.2、关联规则

• 关联规则是形如X->Y的蕴含表达式，其中X和Y是不相交的项集，即它们的交集为空。关联规则的强度可以利用支持度和置信度度量。支持度确定给定数据集的频繁程度，而置信度确定Y在包含X的事务中出现的频繁程度。
• 支持度(support)和置信度(confidence)的定义如下：N表示事务数量，N()表示项集在事务中出现的次数
  $$s(X\to Y)=\frac{N(XUY)}{N}，c(X\to Y)=\frac{N(XUY)}{N(X)}$$
• 提升度(lift)：$lift(X\to Y)=\frac{c(X\to Y)}{s(Y)}=\frac{N(XUY)/N(X)}{N(Y)/N}$，如果$lift=1$说明X和Y没有任何关联，如果$lift<1$，说明X和Y是排斥的，如果$lift>1$，我们认为X和Y是有关联的。
  例如：上面的例子中：牛奶出现在2个事务中，那么{牛奶}的支持度就是2/5=0.4；苹果出现在包含牛奶的事务中出现了1次，那么规则{牛奶}→{苹果}的置信度为1/2=0.5，规则{牛奶}→{苹果}的提升度为0.5/(4/5)=0.625。
• 给定事务的集合T，关联规则发现是指找出支持度大于等于minsup且置信度大于等于minconf的所有规则，其中minsup和minconf是对应的支持度和置信度的阈值即设置的最小支持度和最小置信度。
• 为什么使用支持度和置信度呢？
  • 支持度是一种重要度量值，因为支持度很低的规则可能知识偶尔出现，从商务角度看，低支持度的规则多半是无意义的，因为对顾客很少同时购买的商品进行促销活动并无益处。因此支持度，通常是删掉那些无意义的规则。
  • 置信度度量通过规则推理具有可靠性。对于给定的规则X→Y，置信度越高，说明Y在包含X的事务中出现的可能性就越大。置信度也可以估计Y在条件X下的条件概率。
• 提升度存在的意义：
  置信度用于评估规则的可信程度，但是该度量有一个缺点，没有考虑规则后件的支持度问题，例如在下表中：
  
  规则{茶}$\to${咖啡}的支持度为150/1000=15%，置信度为150/200=75%，先不考虑支持度，只看置信度会觉得比较高，因为可能会认为爱喝茶的人一般也爱喝咖啡。我们再来看一下喝咖啡的人的支持度，达到800/1000=80%，比规则{茶}$\to${咖啡}的置信度75%高，这说明什么问题？并不是爱喝茶的人一般爱喝咖啡，从而使得规则置信度高，而是爱喝咖啡的人本身就很多，所以这条规则是一个误导。由于置信度存在的缺陷，人们又提出了称作提升度的度量。
• 强关联规则：
  • 对于给定的规则X→Y，如果规则同时满足$support(X\to Y)>=minsup$和$confidence(X\to Y)>=minconf$，那么称规则X→Y为强关联规则，否则为弱关联规则。

1.3、频繁项集的产生

• 先验原理：如果一个项集是频繁的，那么该项集的所有子集一定也是频繁的。
• Apriori算法是第一个关联挖掘算法，使用基于支持度的剪枝技术。对于例子来说，假定支持度阈值为60%，相当于最小支持度计数为3。
• 如图：初始将每个项作为一个候选1-项集，对他们的支持度计数之后，候选项集{牛奶}和{面包}被丢弃，因为它们的计数均小于3；第二次迭代，仅使用频繁集1-项集来产生2-项集，因为先验原理保证2-项集的所有子集均属于频繁集，因为只有3个频繁1-项集，所以从3个中选择两个产生2-项集，2项集数目为$C_3^2=3$,计算它们在所有事务中的支持度，发现2-项集中频繁项集只有一个{苹果,黄油}；最终的频繁项集就是{苹果,黄油}。
  

二、python实战

import numpy as np
import pandas as pd
from mlxtend.frequent_patterns import apriori
from mlxtend.frequent_patterns import association_rules  #关联规则

data = pd.read_csv('GoodsOrder.csv',sep=',',index_col=0,encoding='gbk')
df = pd.crosstab(index=data.index,columns=data.goods)
df
goods	牛奶	苹果	面包	香蕉	黄油
row_0					
1	0	1	0	1	1
2	1	1	1	0	0
3	0	1	1	0	1
4	0	1	0	1	1
5	1	0	0	1	0

frequent=apriori(df,min_support=0.3,use_colnames=True) #设置最小支持度为0.3，求频繁项集，显示列标签名
rules=association_rules(frequent,metric='confidence',min_threshold=0) #置信度大于0.5，求关联规则
rules.sort_values(by='confidence',ascending=False)

• 结果解释：三项集中置信度最高的是$(黄油,香蕉)\to (苹果)$和$(苹果,香蕉)\to (黄油)$，项集$(黄油,香蕉)\to (苹果)$说明在购买了黄油和香蕉的前提下，一定会购买苹果；且它们的提升度>1，说明有着较强的相关性。
• 列名含义：针对规则{A}->{B}，总事务数为N

列名	解释	公式
antecedents	前件	A
consequents	后件	B
antecedent support	前件支持度	$support(A)=N(A)/N$
consequent support	后件支持度	$support(B)=N(B)/N$
support	规则支持度	$support(A\to B)=N(A,B)/N$
confidence	置信度	$confidence(A\to B)=N(A,B)/N(A)$
lift	提升度	$lift(A\to B)=confidence(A\to B)/support(B)$
leverage	杠杆率	$leverage(A\to B)=support(A\to B-support(A)\ast support(B))$
conviction		$conviction(A\to B)=\frac{1-support(B)}{1-confidence(A\to B)}$

参考：
《数据挖掘导论》 范明 译